霍奇理論在代數幾何中扮演著非常重要的角色。霍奇理論的重要精神之一是利用線性的結構，即所謂的霍奇結構，來研究非線性的幾何或是算數問題。例如在黎曼曲面的分類理論，在其同調群此一拓樸不變量上的霍奇結構就唯一決定了該曲面。同理，黎曼曲面的變動也可轉化為研究其所對應的霍奇結構的變動，從而將非線性結構的問題化簡為線性逼近的分析。
我近期的工作是將上述的理論推廣至所謂的不規則霍奇理論。主要的設定是考慮一任一維度的代數流形加上一位能函數。對每一組這樣的組合，我們找出如何定義出有意義的霍奇結構。若是給定的位能是一常數，則會得到原本舊有的霍奇結構。但對於一般情況，此霍奇結構會有不同於舊有結構的新的有趣性質。我們稱此為不規則是因為位能的出現使得定義霍奇理論背後的微分方程產生不規則奇異點，此現象在舊有理論中並不會出現。近期的成果主要是與柏林的Esnault教授與巴黎的Sabbah教授的合作研究。其中的工作是將不同的定義方式做一比較，並建立此理論最初步的基本性質。目前我們希望能對此線性結構的退化現象做更深入的研究。
不規則霍奇理論也出現在數學物理上的鏡對稱的研究中。可以預期的是此結構將會在鏡對稱中提供更多有用的資訊。不規則霍奇理論在算數上的應用也是一個有趣的研究課題。 |
