問題簡介
離子通道(ion channel) 是一種蛋白質結構,如同一個可以開關的「門」存在於細胞的細胞膜上。它通過允許某種特定類型的離子穿過該通道來調控細胞膜內的離子濃度,在生物和醫學上扮演非常重要的角色。更重要的，離子通道之變異已知導致許多人類的疾病。理解離子通道運作的原理，將是尋求治療這些類型疾病不可或缺的知識。傳統上是以分子動力Molecule Dynamics (MD)模擬法並利用電腦程式的計算來模擬通道內的離子動態。此法雖被大多數生物學家採用，但描述離子流的常微分方程組卻非常龐大且複雜，所需計算時間十分冗長。因此尋找更有效率的數學建模來模擬離子通道內離子傳輸(ion transport),成為一個有趣且重要的問題。
研究團隊的組成
臺大數學科學中心(TIMS， www.tims.ntu.edu.tw) 自2010年開始至今每年舉辦國際研討會，邀請國內外專家學者進行學術交流,吸引許多國內學者參與離子通道數學建模的研究。目前已組成一個具有數學分析、數值計算與科學實驗三種專業能力的研究團隊,並榮獲科技部主軸計畫的補助。預期未來能推導出更精密、準確且有效率的離子通道模型，結合數理分析和數值計算的結果能與實驗結果相互印證，進而得到可靠的數理模型，提供研究離子通道的一種新方法。
成果介紹
分為理論分析、數值計算和科學實驗三方面,分述如下:
一、 理論分析
建立倫納德－瓊斯位能(Lennard-Jones potential)的近似理論，推導出PNP-steric (Poisson-Nernst-Planck equations with steric effects)方程組:
並且以數值計算得到鈣和鈉離子通道選擇性，進而提昇模擬效率[1,2]。我們考慮在一個有界的物理域中PNP-steric 方程組的平衡態(steady state)解，研究當介電常數充分小時(在微觀尺度下)，該解在邊界及內部的漸近行為。更進一步地，我們推導出幾個公式用來說明內部電位極限值以及邊界電位極限值之間的關係，這項結果提供了一個觀點來說明離子半徑以及濃度如何影響電解溶液的內部及邊界的電位差。研究方法主要是運用偏微分方程的理論分析與嚴格的數學估計來得到這些結果。
二、數值計算
為求簡化，在符合計算效益並且能夠快速掌握物理意義的前提下，我們考慮幾何結構上為軸對稱近似。在模擬真實複雜幾何結構的離子通道前，我們必須藉由了解較簡單的奈米孔洞來學習並累積其相關的物理知識。求解此數學模型上，我們應用多區塊柴比雪夫擬譜方法(multi-block Chebyshev pseudopectral method) 和 method of lines (MOL) 來解此包含邊界及介面條件的統御方程組。首先將此統御方程系統及其邊界條件在空間中半離散化，即可得到一組耦合之微分代數方程式(ODAE)。目前有許多已發展成熟的ODAE 解法可求解此指數為1 的ODAE 系統。我們利用高精度柴比雪夫擬譜方法，選擇Chebyshev Gauss-Lobatto 網格及運用其共置微分矩陣(collocation derivative matrix) 來處理系統的空間半離散化。我們得到了初步的數值結果以演示目前擬譜方法的成功與計算效率。
三、 科學實驗
決定通道結構對離子通道電流之影響重點在於透過單通道電流－電壓曲線之紀錄，觀察實體通道結構（例如孔洞之幾何形狀、電荷分佈，電荷密度、空間立體障礙等）的改變對於通道之通透性及選擇性之影響，並提供生物實驗的結果與PNP-steric 理論模型互相印證。我們針對KcsA 通道的孔洞內部作了生物資訊學的仔細分析，以3D軟體分析出KcsA離子通道孔洞之高解析度結構與文獻數據完全一致，並取得內部空間的幾何形狀及各種測量，這些資訊將能夠做為建立KcsA 通道運作模型的重要基礎。
未來的目標
以理論分析和數值計算來研究所推導的偏微分方程模型，理解方程式係數大小的影響，並發展與離子通道開關(gating)、選擇性(selectivity)相關的理論。此外，研究通道內複雜幾何形狀對於離子傳輸的影響，以及實驗結果的訊號處理等，都是我們未來努力的目標。 |
