文/ 數學系 夏俊雄副教授

數學系/應用數學研究所夏俊雄副教授研究成果分享「同步化現象的數學分析」，成果即將刊登於Journal of Differential Equations 等期刊。

此研究及其相關的後續研究，嘗試從Kuramoto 方程的數學分析對同步化問題提出ㄧ些數學理論上的解釋以及該模型的適用範圍及對物理參數擾動的穩定性。

同步化是一個普世的現象，舉凡鐘擺的同步，蟋蟀的鳴叫，螢火蟲的螢光閃爍，廣播發報，電網同步等等。動物、植物以及無生命的群體都在各種方方面面展示出同步化現象。在同步化問題的研究上，最備受關注的模型是Kuramoto model。這是一個以振子(oscillator)的相位角為研究對象的模型。原始的Kuramoto model是一個N-oscillator的一階ODE system，其非線性項是sine 函數的和。在這個問題上我們做了幾個有別於前人的創新工作:

▪ Global convergence [6]
我們對方程組的Lyapunov function 用了有別於之前研究者的觀點切入分析，把起始值的侷限性拿掉。簡言之，這個研究顯示出，同步化發生的普遍性（因我們證明了在非線性作用夠強大的情況下，它的發生不依賴於資料的起始分佈情形）。

▪ Second order model [5]
二階微分項被引進Kuramoto model，最早是因為對照螢火蟲的觀測，為了match convergence time。然在power network system中，二階Kuramoto model很自然的從First principle 導出。二階Kuramoto model 相關的數學理論比較少，在這個研究裡，我們透過把一階微分項視為求解函數，把二階方程當一階方程來處理，得到一些在時間變數上非局部的估計再配合對相對應的Lyapunov function作適當的觀察而得到一些一般性的理論。

▪ Time delay effect [2,3,4]
自然界的訊息傳遞與反應往往不是最即時的，因此在有多體交互作用的時候，很容易有時滯(time delay)的現象發生。有時滯的方程與一般的常微方程有很大的區別，一般被歸類在無窮維的動態系統。對於一般的帶有時滯的方程，其相關性值的處理手法遠比一般的常微方程要複雜得多。關於這個議題(time-delayed Kuramoto model)，就我們查到的文獻所知，目前只有一些零星的數值模擬結果。我們是第一個在這問題上作出嚴格數學分析的團隊。我們使用的漸進分析手法依賴於一個主要的觀察，當振子們被侷限在一個已知的小範圍裡時(這個條件可以透過交互作用力足夠大來實現)，若存在兩個振子始終不交錯，則經過時滯兩倍的時間後，兩者距離必然以指數衰減方式縮短。

▪ Non all-to-all [1]
前述的Kuramoto model 中，非線性項的交互作用存在於任兩個振子之間。但是實際世界中，訊息的傳遞往往不是如此。在這個Non all-to-all 的model 中，我們考慮振子只跟其編號相鄰的振子作訊息的相互傳遞。這種 non all-to-all 的訊息傳遞模式，大大的減弱了訊息同步化的控制力。這個問題的難度遠高於 all-to-all model (原本的Kuramoto model)。在[1]，我們找出一個類似遞迴的關係，給出在這個模型裡同步化所需要的控制力的大小(sufficient condition)

從上述的各個層面切入Kuramoto model 的數學分析，總體來說，我們證明了Kuramoto model 中提出的sine函數型的非線性交互作用在各種小擾動下都是穩定的，舉凡：訊息傳遞的相位差，反應時間慢半拍的時間遲滯等。存於現實世界的合理擾動都不會破壞系統最終趨於同步的結構，故此可以佐證為何同步化是一個universal的現象。

參考資料

1. Chen, Shih-Hsin; Hsia, Chun-Hsiung; Shiue, Ming-Cheng, On mathematical analysis of non
all-to-all coupling Kuramoto oscillators, submitted.
2. Hsia, Chun-Hsiung; Jung, Chang-Yeol; Kwon, Bongsuk; Sunghwan Moon, Synchronization of
Kuramoto oscillators with the distributed time-delays and inertia effect, submitted.
3. Hsia, Chun-Hsiung; Jung, Chang-Yeol; Kwon, Bongsuk; Sunghwan Moon, Synchronization of
Kuramoto-Sakaguchi model with the distributed time-delayed interactions, in preparation.
4. Hsia, Chun-Hsiung; Jung, Chang-Yeol; Kwon, Bongsuk; Ueda, Yoshihiro, Complete and partial
Synchronization of Kuramoto oscillators model with time-delayed interactions and frustration
effect, in preparation.
5. Hsia, Chun-Hsiung; Jung, Chang-Yeol; Kwon, Bongsuk, On the synchronization theory of
Kuramoto oscillators under the effect of inertia, Journal of Differential Equations, accepted.
6. Hsia, Chun-Hsiung; Jung, Chang-Yeol; Kwon, Bongsuk, On the global convergence of fre-
quency synchronization for Kuramoto and Winfree oscillators, Discrete Contin. Dyn. Syst.
Ser. B., accepted.