文 / 數學系陳逸昆助理教授

這次分享的研究成果，是關於波茲曼方程在有限的凸區域的平滑性的研究。成果已發表於SIAM Journal on Mathematical Analysis 與 Annales de l'Institut Henri Poincare / Analyse non Linéaire。

波茲曼方程是一個氣體動力方程，描述稀薄氣體在各速度上的分佈函數對時間的演化，一方面有慣性的作用，等速直線前進，另一方面考慮進雙粒子碰撞造成的增減。而碰撞的作用，可分為阻尼遞減和散射的兩個作用，在線性化後可以明確表示出來。對於全空間的氣體動力演化方程，慣性和散射作用的交互影響會造成平滑性的改善。這在著名的Golse-Lions–Perthame–Sentis速度平均引理（1988)與劉太平與尤釋賢的混合引理（2014)都有描述。這次分享的結果，可說是混合引理在有限區域線性化波茲曼方程穩態解上的體現。

研究發現碰撞的散射截面在角度截斷和變數分離的狀況下，散射作用會造成速度變數上的平滑性。混合引理的結論是，每兩次的散射和慣性作用，可將源項的兩次速度微分，換成空間上的一次微分。本研究延續此想法，發展出新的手法突破有限區域穩態的不同情況的困難。首先將散射項當作源項，進行兩次皮卡疊代，關鍵是得到的表示式，經過變數變換，可將速度變數用空間變數表示，因而可以將速度的平滑性移至空間變數。由於變數變換引入的奇性，此步驟只能得到赫爾德連續，但以此為基礎繼續疊代，可得到內部可微的結果。

**Chen, I-Kun; Hsia, Chun-Hsiung; Kawagoe, Daisuke, 2019. Regularity for Diffuse Reflection Boundary Problem to The Stationary Linearized Boltzmann Equation in A Convex Domain, ANNALES DE L'INSTITUT HENRI POINCARE-ANALYSE NON LINEAIRE, 36(3), 745-782.

**Chen, I-Kun, 2018. Regularity of Stationary Solutions to The Linearized Boltzmann Equations, SIAM JOURNAL ON MATHEMATICAL ANALYSIS, 50(1), 138-161.