文/應用數學科學研究所王振男教授

反問題或稱逆問題是實務應用上常見的問題，諸如醫學影像，地質探勘，非破壞檢測等等，都是反問題的範疇，大多數反問題都可以藉由數學語言轉換成許多有趣的數學問題。雖然反問題的唯一性在數學上是很重要的問題，但應用實務上並不會過於著墨，然而反問題的穩定性在應用上就不能被忽視，因為這牽涉到觀測誤差如何影響到逆求目標物的誤差。例如常見的電流阻抗斷層掃描(Electric Impedance Tomography)，理論上所推導出來的穩定性估計是對數的型式(Logarithmic type)，表示觀測的誤差會被放大，進而影響到導電係數重構的誤差，這就說明了為什麼大多電流阻抗斷層掃描所重構出來的影像並不理想。

大多數的反問題在數學語言上是屬於非良置(ill-posed)的問題，對於橢圓方程相關的反問題(例如電流阻抗斷層掃描)，對數型的穩定性估計是個宿命，然而對於大多雙曲方程(例如波方程)的反問題，穩定性估計是Hölder的型式。直觀上，橢圓方程訊息傳遞的速度是無限大，在逆求的過程中，有很多的資料是抓不到的，進而導致較差的穩定性。反之，對於雙曲方程，訊息傳遞的速度是有限的，在逆求的過程中，消失的資料量並不會過大，所以會有較佳的穩定性估計。基於雙曲方程的反問題有較佳的穩定性，我們考慮帶有頻率參數橢圓方程(Helmholtz type equation)的反問題，研究在高頻時是否會有較佳的穩定性，並觀察穩定性估計如何隨頻率變化。一般常見帶頻率參數橢圓方程分別為薛丁格方程(Schrodingerequation)及聲波方程(acoustic equation):

Δu + q(x)u + k2u = 0 (Schrodinger equation), Δu + k2a(x)u = 0 (acoustic equation).

這裡的k²可以視為是頻率。

這是兩組橢圓方程，我們考慮這兩個方程使用邊界測量來決定係數q(x)及a(x)的反問題，如果忽略頻率的影響，穩定的估計都是指數型式。然而如果加入頻率的因素，我們可以證明穩定性估計可以分成兩部分，有一部分是指數型式，另一部分是Hölder的型式，而最關鍵的一點是指數部分的估計隨著頻率的增加而遞減，使得在高頻時穩定性的估計近似雙曲方程反問題的情形，呈現一個Hölder型式的估計。直觀上這是合理的，因為在高頻時這兩個方程有較接近雙曲方程的行為。雖然兩個方程的穩定性估計，在指數部分都會隨著頻率增加而遞減，但是在薛丁格方程的穩定性估計中，Hölder部分前的係數是頻率的多項式成長，然而在聲波方程的穩定性估計中，Hölder部分前的係數是頻率的指數成長，這使得對於聲波方程邊界值的反問題仍擺脫不了穩定性無法增加的困擾。在下列數值模擬的圖形中，我們討論重構具有不同物質係數區域的反問題。第一列是薛丁格方程在不同頻率的重構情形，可以發現重構影像隨頻率增加而更為準確。然而在聲波方程中，重構影像在高頻時反而仍是模糊。深入了解聲波方程或是類似方程反問題在高頻穩定性的估計是值得研究的課題，當然如何增加對這類方程反問題的穩定性是重要的努力方向。

REFERENCES		REFERENCES
Figure 1: 數值模擬圖形取自於[2].

References
[1] V. Isakov, S. Nagayasu, G. Uhlmann, and J.-N. Wang. Increasing stability of the inverse boundary value problem for the Schrödinger equation. Contemporary Mathematics, 615 (2014), 131-141.
[2] P.-Z. Kow and J.-N. Wang. Reconstruction of an impenetrable obstacle in anisotropic inhomogeneous background. IMA J. Appl. Math., 86 (2021), no. 2, 100-128.
[3] S. Nagayasu, G. Uhlmann, and J.-N. Wang. Increasing stability in an inverse problem for the acoustic equation. Inverse Problems, 29 (2013), 025012, 11 pp.