文/ 數學系 林學庸 助理教授

我的研究工作和興趣屬於代數幾何與複幾何領域。兩者雖然本質與技術上面向不同，卻有著豐富的交集。

代數幾何裡，典型的研究對象是由多項式零點定義的代數多樣體 X（例如圓錐曲線），以及它們之間的映射。若多項式的係數是某個域 k 的元素，我們稱 X 為佈於 k 的多樣體。給定域擴張 L/k，同樣的 k-係數多項式也定義了佈於 L 的多樣體 X_L。當 k 是特徵零的域時，我們總能將 k 嵌入複數域 C 裡，定義出帶有複數結構的多樣體 X_C。這類多樣體同時也是複幾何範疇的研究對象，與代數幾何提供互補的研究切入點。

以下分別就代數幾何與複幾何領域，簡述兩項研究成果。

雙有理映射的母題（motivic）不變量（與E. Shinder共同合作）

給定佈於任意域 k 的雙有理映射 f : X ---> Y ，我們利用 f 與其逆映射的例外除子（exceptional divisors）構造取值於阿貝爾群 Z[Bir/k] 的不變量 c(f)。此不變量 c 滿足基本性質

c(fg)=c(f)+c(g)，

從而產生雙有理自同構群 Bir(X) 至阿貝爾群 Z[Bir/k] 的群態射 c: Bir(X) -> Z[Bir/k]。

許多情況下，特別當 X=P^N 是三維以上的射影空間時，我們證明 c 是非零的，並將此性質應用於 Cremona 群 Bir(P^N) 得出嶄新的結果。例如我們證明當 N≥5、且當 k 為任意無窮域時，Bir(P^N) 無法由有限階元素（或更一般地，可正則化（regularizable）映射）生成。此結果否證 Cheltsov 猜想也回答了 Dolgachev的問題，並重新解釋為何大部分的Cremona 群並非簡單群。

零熵映射與動態濾鍊（與T.-C. Dinh、K. Oguiso、D.-Q. Zhang共同合作）

給定緊緻 Kähler 流形 X，基於上同調類的正性以及 Hodge 理論（尤其是混合（mixed）Hodge—Riemann 關係），我們證明了零熵群在 H^2(X) 上(1,1)-部分的作用具有我們稱為「動態濾鏈」（dynamical filtrations）的結構。

若我們考慮零熵自同構映射 f 在上同調 H^2(X) 的迭代作用，透過動態濾鏈我們能直接得出此作用的多項式增長的最佳上界是 2dimX - 2。此敘述將 Lo Bianco 的結果從三維推廣到任意維度，並回答了 Cantat 於 2018 年國際數學家大會（ICM）報告中間接提出的問題。