理學院電子報 No.57

文/ 數學系林偉傑助理教授

初抵滲透模型是Hammersley和Welsh於60年代所提出的一個統理物理模型。這個模型是以機率的方式來描述液體於多孔介質的流動，也可以用來描述其他現象，例如細胞生長或者在社交網路中謠言的散播。雖然這個模型的數學定義很簡單，但我們對這個模型的了解還是非常有限，而且初抵滲透跟數學其他領域如遍歷理論或數學物理關係很大，所以它吸引了很多數學家的注意和研究。

數學上初抵滲透的定義如下。我們考慮一個d維的網格。在這個網格的每一條邊上我們都放一個非負的隨機變數。我們可以把網格的交點想像成一些節點，再把那些邊想像成一些水管，還有把那些隨機變數想像成液體需要通過水管的時間，然後在一個固定的節點不斷注入水，一段時間後再觀察水所到達的範圍。我們稱這範圍為感染範圍。由於通過水管的時間是隨機，所以感染範圍也是隨機，要準確地描述這個範圍也有一定的困難。Cox-Durrett [1] 和 Kesten [4] 證明了在一個合適的縮放下，當時間趨向無窮大時，這個感染範圍會收斂到在歐氏空間內的一個非隨機凸集。我們對這個凸集的理解不多，而初抵滲透的其中一個重要的問題是理解這個極限形狀的幾何。

圖：感染範圍的模擬

為了理解這個極限形狀，我們研究感染範圍的幾何。在 [3]，我們發現以下的結果：在一般情況下，當t足夠大時，時間為t的感染範圍的周界大約是t^d-1，所以某個意義上感染範圍的表面基上是光滑的；但如果先前提到的隨機變數的分布是尾重的話，那麼感染範圍的周界可以變成t^d-1+c，當中c > 0。尾重分布使感染範圍變大的主要原因是感染範圍會出現很多洞，使得周界變得比一般情況下大很多。我們之後再研究感染範圍的洞。在 [2]，我們發現不管隨機變數如何，在絕大部分情況下，在t足夠大時，時間為t的感染範圍總有至少t^d-1這麼多個洞，也至少有一個為log t大小的洞。換句話說，感染範圍總是會有很多洞，而且會至少有一個很大的洞。

[1] Cox, J. T.; Durrett, R. Some limit theorems for percolation processes with necessary and sufficient conditions. Ann. Probab. 9 (1981), no. 4, 583–603.

[2] Damron, M.; Gold, J.; Lam, W.-K.; Shen, X. On the number and size of holes in the growing ball of first-passage percolation. Trans. Amer. Math. Soc. 377 (2024), 1641–1670.

[3] Damron, M.; Hanson, J.; Lam, W.-K. The size of the boundary in first-passage percolation. Ann. Appl. Probab. 28 (2018), no. 5, 3184–3214.

[4] Kesten, H. Aspects of first passage percolation. École d'été de probabilités de Saint-Flour, XIV—1984, 125--264, Lecture Notes in Math., 1180, Springer, Berlin, 1986.