隨著生成式人工智慧（Generative AI）技術的飛速發展，許多傳統的數學計算已能透過演算法高效且準確地完成，使得數學教育的核心價值與教學重點愈發值得探討。作為教學工作者的我們必須思考，在這樣的時代背景下，應如何培養學生，使其具備面對未來挑戰的關鍵能力？
其中，扎實的純數學理論基礎無疑是所有科學領域的根本支柱。對於希望發展新理論、改進現有演算法，或推動學科前沿的學生而言，深刻理解數學結構與抽象概念至關重要。純數學的訓練不僅能夠培養學生的邏輯推理與結構化思維，更能鍛鍊其嚴謹證明與數學抽象化的能力。即便機器可以處理繁瑣的計算，人類獨有的數學洞察力與抽象思維暫時仍然無可取代。
在數學教育的規劃上，我認為基礎數學課程應聚焦於純數學的核心概念，特別是數學分析（尤其是點集拓撲的語言）與線性代數（如抽象對角化理論、奇異值分解（SVD）與矩陣的正定性），這些概念不僅是數學學科的基礎，更是科學、工程與數據科學等領域的共同語言。對於希望從事數據科學、計算科學、理論物理、經濟模型分析等領域的學生而言，這些數學工具是理解與推動學術發展的關鍵。
然而，數學教育不應採取「one-size-fits-all」的模式，尤其是針對不同學科背景的學生，純數學課程的設計應有所調整。數學專業學生的訓練方式，與工程、科學或經濟學領域的學生應有所區別。基於此考量，在數學系主任余正道教授鼓勵下，我在 2023/4 及 2024/5 學年度設立了三門新的數學課程，分別為：
- MATH4018 線性代數導論（一）
- MATH4022 線性代數導論（二）
- MATH1008 初等分析：賦距空間簡介
這些課程的設計不僅強調純數學的理論深度，更兼顧跨學科應用價值，以滿足物理、化學、經濟學等學科對數學日益增長的需求。儘管這些課程仍以純數學為核心，但與傳統數學系的課程相比，我在課程設計上特別強調理論與應用的緊密結合，確保學生不僅能掌握嚴謹的數學推導，也能理解其如何影響現代科學與技術的發展。例如，在課堂上，我帶領學生探討以下議題：
- 奇異值分解（SVD）如何應用於影像壓縮技術，並剖析其在數據降維與機器學習中的角色；
- 廣義逆矩陣（pseudoinverse）如何在迴歸分析中提供新視角，並如何改進數據擬合方法；
- 矩陣的正定性如何與最佳化方法相結合，以延伸至工程與經濟學中的應用；
- Perron-Frobenius 定理如何奠定 Google PageRank 演算法的數學基礎，並影響搜尋引擎排名機制。
雖然這些主題可能在其他系所的應用課程中也有涉及，但在數學系的課程中，我們確保每一個定理都經過嚴格證明，讓學生真正理解數學理論的邏輯結構，而不僅僅是應用公式解題。這樣的課程設計，使學生能夠在未來的學術與專業發展中，靈活運用數學工具來解決更複雜的問題。
這些課程的推出獲得學生端正面的迴響，吸引了來自臺大幾乎所有學院的學生選修，以下節錄部份學生對課程的回饋：
「我是因為修過本系內的必修，因此決定來修習這門課的。原先我大概都只知道如何去進行「計算」，不過經過老師這學期的講解之後，我有更加了解線性代數在計算之外的意象應該要如何理解，這也有幫助到我去理解本系科目的數學內容。」
「讓我對於物理題材有更數學嚴謹的見解，也讓我不把以前其他老師教的線性代數的操作視作理所當然，而學到如何驗證、證明。」
「I have a deeper understanding of what a course in pure mathematics would look like. This course is challenging and balanced at the same time. It pushes me forward without destroying my ego. I have certainly learnt a lot in this semester, and I plan to choose more courses from math department now.」
我們欣然得知MATH4018 線性代數導論（一） 已正式納入經濟系的系定選修，並列為「數理經濟」與「資料科學」兩大領域專長課程，同時亦為數學系輔系的指定課程。此舉進一步印證了純數學作為學科基礎的普遍性與關鍵性。展望未來，我期待能持續開發更多符合不同學科需求的數學課程，使學生在科技與數據驅動的時代中，奠定堅實的數學基礎，為跨領域研究與創新提供更強而有力的支撐。
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