王姿月合聘教授研究簡述

我的研究主要涉及數論中的 Diophantine 幾何與逼近，零特徵值函數體的Diophantine問題以及複分析中的值分佈理論。近年來，我的研究成果可大致分為兩個方向：

1. GCD（最大公因數）定理的建立與應用
2. 對 Min Ru 和 Paul Vojta 近年在 Diophantine 逼近領域突破性工作的推廣與應用

1. GCD 定理的建立與應用

這一系列研究主要基於我與 Aaron Levin 的合作。我們建立了一個 GCD 定理：簡單來說，若考慮複數體上兩個互質的n個變數的多項式，當它們取值於n個 無零點的全純函數時，其共同零點將非常稀少。這一結果奠定了後續一系列工作的基礎。在此基礎上，我與當時的博士後 郭驥 和 孫嘉梁 進一步探討了該方法在 Green-Griffiths-Lang 猜想（複幾何）及 廣義 abc 猜想（值分佈理論）中的應用。與傳統的複幾何方法不同，我們的證明使用代數技巧，因此不僅能推廣現有結果，更重要的是，我們能明確刻劃 Green-Griffiths-Lang 猜想中所需排除的集合--這是複幾何中極具挑戰性的問題。

2. Ru-Vojta 逼近定理的推廣與應用

Min Ru 和 Paul Vojta 在 2020 年提出了一個針對一般代數簇的逼近定理。然而，該定理涉及的常數較難計算，因此其應用更為關鍵。我與當時的博士生 郭驥 首先將其應用於漸近的半純函數 GCD 定理，並進一步與 Yu Yasufuku 合作，證明了數論中的 GCD 定理。這一結果極具影響力，因為它取代了 Joe Silverman 原本需要依賴的廣義 abc 猜想，進一步凸顯了 Ru-Vojta 定理的重要性。此外，我與 Amos Turchet 和 Erwan Rousseau 將該定理應用於複變及函數體，構造了違反 Weakly Special 猜想的反例。此外，我們還研究了數論中的多項式取值的可除性問題，進一步拓展了 Ru-Vojta 定理的影響範圍。